2007考研数学一真题及答案

一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

  1. 当时，与等价的无穷小量是

(A)                 (B)

(C)              (D)

【答案】B。

【解析】

时

 

      

几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较

  1. 曲线渐近线的条数为

(A)0                          (B)1

(C)2                          (D)3

【答案】D。

【解析】

由于

，

则是曲线的垂直渐近线；

又  

   

所以是曲线的水平渐近线；

斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在一侧。

 

 

 

 

 

则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

  1. 如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是

(A)

(B)

(C)

(D)

 

 

 

 

【答案】C。

【解析】

【方法一】

四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定

 

 

 

 

则

【方法二】

由定积分几何意义知,排除(B)

又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而

显然排除(A)和(D),故选(C)。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用

  1. 设函数在处连续，下列命题错误的是

(A)若存在，则

(B)若存在，则

(C) 若存在，则存在

(D) 若存在，则存在

【答案】D。

【解析】

 (A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；

(B)：若存在，则,则，故(B)正确。

(C)存在，知，则

则存在，故(C)正确

(D)存在，

不能说明存在

例如在处连续，

存在，但是不存在，故命题(D)不正确。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念

  1. 设函数在内具有二阶导数，且,令,则下列结论正确的是

(A)若,则必收敛        (B)若,则必发散

(C)若,则必收敛        (D)若,则必发散

【答案】D。

【解析】

【方法一】

图示法：由，知曲线是凹的，

显然，图1排除选项(A)，其中；图2排除选项(B)；图3排除选项(C),其中；故应选(D)。

 

 

 

 

 

 

 

 

图1                     图2                          图3

【方法二】

排除法：取,显然在，,,但，排除A；

取在上，且,但,排除B；

取 在上，，且,但，排除(C),故应选(D)。

【方法三】

由拉格朗日中值定理知

当时，

由于，且,则从而有

则有

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

  1. 设曲线(具有一阶连续偏导数)，过第象限内的点和第象限的点，为上从点到点的一段弧，则下列小于零的是

(A)             (B)

(C)             (D)

【答案】B。

【解析】

设的坐标分别为，则由题设可得

因为

  ,

  ；

  ；

 

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性质及计算

  1. 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】A。

【解析】

(A)：因为,

所以向量组线性相关；

(B)：

因为线性无关，所以判断线性无关

由于,故知线性无关；

(C)：

，同理线性无关；

(D)：

，同理线性无关；

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关

  1. 设矩阵,则与

(A)合同，且相似           (B)合同，但不相似

(C)不合同，但相似         (D)既不合同，也不相似

【答案】B。

【解析】

根据相似的必要条件:，易得和肯定不相似，

合同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。

由

知矩阵的特征值.故二次型的正惯性指数,负惯性指数,而二次型也是正惯性指数,负惯性指数，所以和合同

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵

  1. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A)                 (B)

(C)                (D)

【答案】C。

【解析】

根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功和2次失败，其概率为,第4次试验成功，其概率为，所以此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试验

  1. 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为

(A)                     (B)

(C)                 (D)

【答案】A。

【解析】

随机变量服从二维正态分布，且与不相关，说明与相互独立，且

在的条件下，根据题目显然的条件概率密度为

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常用二维随机变量的分布

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）

  1.         。

【答案】。

【解析】

【方法一】

 

    

 

【方法二】

令,则

   

 

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法

  1. 设是二元可微函数，,则        。

【答案】

【解析】

利用复合函数的求导方式，可直接得出

 

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分

  1. 二阶常系数非齐次微分方程的通解为        。

【答案】其中为任意常数

【解析】

对应齐次方程的特征方程为

则对应齐次方程的通解为

设原方程特解为,代入原方程可得

所以原方程的特解为

故原方程的通解为其中为任意常数，

综上所述，本题正确答案是其中为任意常数。

【考点】高等数学—常微分方程—简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

  1. 设曲面,则        。

【答案】。

【解析】

由积分区域和被积函数的对称性有，

 

所以，

故

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算

  1. 设矩阵，则的秩为        。

【答案】1。

【解析】

因为

所以。

综上所述，本题正确答案是1。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的乘法，矩阵的秩

  1. 在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为        。

【答案】。

【解析】

假定在区间中随机地取两个数为，则,把看做直角坐标系内一个点的坐标，则如下图所示，为正方形区域内的点，而满足的点的区域就是下图阴影区域。根据几何型概率，

 

 

 

 

 

 

 

 

 

综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—几何型概率

三、解答题（本题共8小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

  1. （本题满分11分）

求函数在区域上的最大值和最小值。

【解析】

因为

所以函数在区域内的驻点为

再求函数在边界线上的极值，构造拉格朗日函数为：

,则

,解得

 ，于是条件驻点为

 ,

而

比较以上函数值，可得函数在区域上的最大值为，最小值为

【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用

  1. （本题满分10分）

计算曲面积分，,其中为曲面的上侧。

【解析】

为曲面的上侧，

添加一个平面,取下侧，则和构成闭合曲面，其所围区域记为，于是

 

而

 

 

 

 

所以

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算

  1. （本题满分11分）

设函数在上连续，在内具有二阶导数，且存在相等的最大值，,证明：存在，使得。

【解析】

【方法一】

令,则

设在内的最大值为，且分别在时取到，即

若取到,即；

若则

此时，由连续函数介值定理知在之间至少存在点，

综上所述，存在，使得

由罗尔定理知，存在,使得；

再由罗尔定理知，存在,使得即。

【方法二】

用反证法证明存在，使得：

假设不存在，使得，则由的连续性知对于一切,恒大于零或恒小于零。

设，设在取到最大值，则即,从而可知在上的最大值比在上的最大值要大，与题设矛盾，所以假设命题不成立。

存在，使得

所以由罗尔定理知，存在,使得；

再由罗尔定理知，存在,使得即。

【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理

  1. （本题满分10分）

设幂级数在内收敛，其和函数满足

  1. 证明:；
  2. 求的表达式。

【解析】

  1. 由题设可得

 

,

代入

可得

 

即

比较同次项系数可得，

  1. 由可得，

 

故

【考点】高等数学—无穷级数—简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式

  1. （本题满分11分）

设线性方程组          ①

与方程                ②

有公共解，求的值及所有公共解。

【解析】

【方法一】

方程组有公共解，即为将两个方程联立的解

          ③

对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有

已知方程组有解，所以应有

时，

此时，公共解为：,其中为任意常数。

时，

此时，有唯一的公共解为

【方法二】

先求方程组①的解，其系数行列式为

当时，方程组①只有零解，但此时不是方程②的解，所以公共解发生在或时，

当时，对方程组①的系数矩阵进行初等行变换

方程组①的通解为, 其中为任意常数。

此解也满足方程组②，所以此时方程组①和②的公共解为, 其中为任意常数。

当时，同样求方程组①的通解

方程组①的通解为, 其中为任意常数。

将其代入方程组②中得：

得,因此此时方程组①和②的公共解为

【考点】线性代数—线性方程组—齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解

  1. （本题满分11分）

设3阶实对称矩阵的特征值为,且是的属于的一个特征向量，记,其中为3阶单位矩阵。

  1. 验证是矩阵的特征向量，并求的所有特征值和特征向量；
  2. 求矩阵。

【解析】

  1. 由知,那么

所以是矩阵属于特征值的特征向量

同理，，，有

,

因此，矩阵的特征值为。

由矩阵是对称矩阵知矩阵也是对称矩阵，设矩阵关于特征值的特征向量是，那么因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有

所以矩阵关于特征值的特征向量是

因此，矩阵属于特征值的特征向量是，其中是不为0的任意常数。

矩阵属于特征值的特征向量是，其中是不全为0的任意常数。

  1. 由，有

所以

【考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

  1. （本题满分11分）

设二维随机变量的概率密度为

  1. 求;
  2. 求的概率密度。

【解析】

         

其中为区域：。

  1. 【方法一】

根据两个随机变量和的概率密度的一般公式有

 

将分段讨论：

时，由于，故,此时；

时，；

时，；

时，由于，故, 此时。

综上所述，

【方法二】

时,；

时，

                 

                 ；

时，

                 

                 

                 ；

时，

所以

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度

  1. （本题满分11分）

设总体的概率密度为

 

其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值。

  1. 求参数的矩估计量；
  2. 判断是否为的无偏估计量，并说明理由。

【解析】

令，解得

所以参数的矩估计量

由(I)知,又有

 

 

所以

           

因此，不是的无偏估计量。

【考点】概率论与数理统计—参数估计—矩估计法，估计量的评选标准