.(1).
(2)微分方程
の通解是 .
(3)设
是锥面
(
)の下侧,则
.
(4)点
到平面
の距离
= .
(5)设矩阵
,
为2阶单位矩阵,矩阵
满足
,则
= .
(6)设随机变量
与
相互独立,且均服从区间
上の均匀分布,则
= .
(7)设函数
具有二阶导数,且
,
为自变量
在
处の增量,
与
分别为
在点
处对应の增量与微分,若
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)设
为连续函数,则
等于
(A)
(B)
(C)
(C)
(9)若级数
收敛,则级数
(A)
收敛 (B)
收敛
(C)
收敛 (D)
收敛
(10)设
与
均为可微函数,且
.已知
是
在约束条件
下の一个极值点,下列选项正确の是
(A)若
,则
(B)若
,则
(C)若
,则
(D)若
,则
(11)设
均为
维列向量,
是
矩阵,下列选项正确の是
(A)若
线性相关,则
线性相关
(B)若
线性相关,则
线性无关
(C)若
线性无关,则
线性相关
(D)若
线性无关,则
线性无关.
(12)设
为3阶矩阵,将
の第2行加到第1行得
,再将
の第1列の-1倍加到第2列得
,记
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(13)设
为随机事件,且
,则必有
(A)
(B)
(C)
(D)
(14)设随机变量
服从正态分布
,
服从正态分布
,
且
则
(A)
(B)
(C)
(D)
(15)(本题满分10分)
设区域D=
,计算二重积分
.
(16)(本题满分12分)
设数列
满足
.
求:(1)证明
存在,并求之.
(2)计算
.
(17)(本题满分12分)
将函数
展开成
の幂级数.
(18)(本题满分12分)
设函数
满足等式
.
(1)验证
.
(2)若
求函数
の表达式.
(19)(本题满分12分)
设在上半平面
内,数
是有连续偏导数,且对任意の
都有
.
证明: 对
内の任意分段光滑の有向简单闭曲线
,都有
.
(20)(本题满分9分)
已知非齐次线性方程组
有3个线性无关の解,
(1)证明方程组系数矩阵
の秩
.
(2)求
の值及方程组の通解.
(21)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵
の各行元素之和均为3,向量
是线性方程组
の两个解.
(1)求
の特征值与特征向量.
(2)求正交矩阵
和对角矩阵
,使得
.
(22)(本题满分9分)
随机变量
の概率密度为
为二维随机变量
の分布函数.
(1)求
の概率密度
.
(2)
.
(23)(本题满分9分)
设总体
の概率密度为
,其中
是未知参数
,
为来自总体
の简单随机样本,记
为样本值
中小于1の个数,求
の最大似然估计.
参考答案
（1）
= 2 .
（
）
（2）微分方程
の通解是
，这是变量可分离方程.
（3）设
是锥面
の下侧，则
补一个曲面
上侧
∴ 
（
为锥面
和平面
所围区域）
（
为上述圆锥体体积）
而
（∵在
上：
）
（4）
(5)设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= .
-1 2
解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得
|B||A-E|=|2E|=4,
计算出|A-E|=2,因此|B|=2.
（6）
（7）设函数
具有二阶导数，且
，
，
为自变量
在
处の增量，
与
分别为
在点
处对应の增量与微分.若
，则
(11)设1,2,…,s 都是n维向量，A是m´n矩阵，则（ ）成立.
(A) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相关.
(B) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相关.
(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
解: (A)
本题考の是线性相关性の判断问题,可以用定义解.
若1,2,…,s线性相关,则存在不全为0の数c1,c2,…,cs使得
c11+c22+…+css=0,
用A左乘等式两边,得
c1A1+c2A2+…+csAs=0,
于是A1,A2,…,As线性相关.
如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
1.1,2,…,s线性无关Û r(1,2,…,s)=s.
2. r(AB)£ r(B).
矩阵(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此
r(A1,A2,…,As)£ r(1,2,…,s).
由此马上可判断答案应该为(A).
(12)设A是3阶矩阵,将Aの第2列加到第1列上得B,将Bの第1列の-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0
P= 0 1 0 ,则
0 0 1
(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1.
解: (B)
用初等矩阵在乘法中の作用得出
1 -1 0
0 0 1
（13）根据乘法公式与加法公式有：
B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)应选C
因 
即 
所以 
应选A
（18）设函数
内具有二阶导数，且
满足等式
（I）验证 
（II）若
求函数
证：（I）
（II）令
（19）设在上半平面
内，函数
具有连续偏导数，且对任意
都有
证明：对D内任意分段光滑の有向简单闭曲线L，
都有
.
证：把
得：
令 
，则
再令 
所给曲线积分等于0の充分必要条件为
今 
要求 
成立，只要
我们已经证明，
，于是结论成立.
(20)已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4=-1,
4x1+3x2+5x3-x4=-1，
ax1+x2+3x3+bx4=1
有3个线性无关の解.
① 证明此方程组の系数矩阵Aの秩为2.
② 求a,bの值和方程组の通解.
解:① 设1,2,3是方程组の3个线性无关の解,则2-1,3-1是AX=0の两个线性无关の解.于是AX=0の基础解系中解の个数不少于2,即4-r(A)³2,从而r(A)£2.
又因为Aの行向量是两两线性无关の,所以r(A)³2.
两个不等式说明r(A)=2.
② 对方程组の增广矩阵作初等行变换:
1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1
(A|)= 4 3 5 -1 -1 ® 0 –1 1 –5 3 ,
a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a
由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
1 0 2 -4 2
® 0 1 -1 5 -3 .
0 0 0 0 0
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4，
x2=-3+x3-5x4，
求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0の基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组の通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.
(21) 设3阶实对称矩阵Aの各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0の解.
① 求Aの特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得
解:① 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 0=(1,1,1)T是Aの特征向量,特征值为3.又1,2都是AX=0の解说明它们也都是Aの特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0の重数大于1.于是Aの特征值为3,0,0.
属于3の特征向量:c0, c¹0.
属于0の特征向量:c11+c22, c1,c2不都为0.
② 将0单位化,得0=(
,
,
)T.
对1,2作施密特正交化,の1=(0,-
,
)T,2=(-
,
,
)T.
作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且
3 0 0
0 0 0
（22）随机变量
の概率密度为
，令
，
为二维随机变量
の分布函数.
の概率密度；（Ⅱ）
解：
；
.
所以：
这个解法是从分布函数の最基本の概率定义入手，对y进行适当の讨论即可，在新东方の辅导班里我也经常讲到，是基本题型.
（Ⅱ）
.
（23）设总体
の概率密度为
，其中
是未知参数（0<
<1）.
为来自总体の简单随机样本，记N为样本值
中小于1の个数.求
の最大似然估计.
解：对样本
按照<1或者≥1进行分类：
<1，
≥1.
似然函数
，
在
<1，
≥1时，
，
，所以
.