2006考研数二真题及答案

一、填空题

（1）曲线的水平渐近线方程为

（2）设函数 在x=0处连续，则a=

（3）广义积分

（4）微分方程的通解是

（5）设函数确定，则

当x=0时，y=1，

又把方程每一项对x求导，

(6) 设A =  2  1  ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|=      .

          -1  2

解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得

 |B||A-E|=|2E|=4,

计算出|A-E|=2,因此|B|=2.

二、选择题

（7）设函数具有二阶导数，且为自变量x在点x₀处的增量，，则[A]

（A） （B）

（C） （D）

由严格单调增加

  是凹的

即知

（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则

是[B]

（A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数

（C）在x=0间断的奇函数 （D）在x=0间断的偶函数

（9）设函数则g(1)等于[C]

（A） （B）

（C） （D）

∵ ，  g(1)=

（10）函数满足的一个微分方程是[D]

（A） （B）

（C） （D）

将函数代入答案中验证即可.

（11）设为连续函数，则等于[C]

（A） （B）

（C） （D）

（12）设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是[D]

（A）若

（B）若

（C）若

（D）若

今 代入(1) 得

今 故选[D]

(13)设₁,₂,…,_s 都是n维向量，A是m´n矩阵，则（  ）成立.

(A) 若₁,₂,…,_s线性相关,则A₁,A₂,…,A_s线性相关.

(B) 若₁,₂,…,_s线性相关,则A₁,A₂,…,A_s线性无关.

(C) 若₁,₂,…,_s线性无关,则A₁,A₂,…,A_s线性相关.

(D) 若₁,₂,…,_s线性无关,则A₁,A₂,…,A_s线性无关.

解: (A)

本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.

若₁,₂,…,_s线性相关,则存在不全为0的数c₁,c₂,…,c_s使得

c₁₁+c₂₂+…+c_s_s=0,

用A左乘等式两边,得

c₁A₁+c₂A₂+…+c_sA_s=0,

于是A₁,A₂,…,A_s线性相关.

如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:

1.₁,₂,…,_s线性无关Û r(₁,₂,…,_s)=s.

2. r(AB)£ r(B).

矩阵(A₁,A₂,…,A_s)=A(₁,₂,…,_s),因此

r(A₁,A₂,…,A_s)£ r(₁,₂,…,_s).

由此马上可判断答案应该为(A).

(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记       1  1  0

      P=  0  1  0  ,则

          0  0  1

(A) C=P^-1AP.  (B) C=PAP^-1.

(C) C=P^TAP.   (D) C=PAP^T.

解: (B)

用初等矩阵在乘法中的作用得出

B=PA ,

       1 -1  0

C=B  0  1  0 =BP^-1= PAP^-1.

       0  0  1

三、解答题

（15）试确定A，B，C的常数值，使其中是当.

解：泰勒公式代入已知等式得

整理得

比较两边同次幂函数得

B+1=A ①

C+B+=0 ②

③

式②-③得

代入①得

代入②得

（16）求.

解：原式=

.

（17）设区域， 计算二重积分.

解：用极坐标系

.

（18）设数列满足，

证明：（1）存在，并求极限；

（2）计算.

证：（1）

单调减少有下界

根据准则1，存在

在两边取极限得

因此

（2）原式

离散型不能直接用洛必达法则

先考虑  

用洛必达法则

.

（19）证明：当时，.

证：令

只需证明严格单调增加

严格单调减少

又

故单调增加（严格）

得证

（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式.

（I）验证 ；

（II）若 求函数.

证：（I）

（II）令

（21）已知曲线L的方程

（I）讨论L的凹凸性；

（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程；

（III）求此切线与L（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积.

解：（I）

（II）切线方程为，设，，

则

得

点为（2，3），切线方程为

（III）设L的方程

则

由于（2，3）在L上，由

(22)已知非齐次线性方程组

x₁+x₂+x₃+x₄=-1,

          4x₁+3x₂+5x₃-x₄=-1，

 ax₁+x₂+3x₃+bx₄=1

有3个线性无关的解.

① 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.

② 求a,b的值和方程组的通解.  

解:① 设₁,₂,₃是方程组的3个线性无关的解,则₂-₁,₃-₁是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)³2,从而r(A)£2.

又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)³2.

两个不等式说明r(A)=2.

② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:

        1  1  1  1  -1       1  1   1     1     -1

(A|)=  4  3  5 -1  -1  ® 0 –1   1    –5    3    ,

            a  1  3  b   1       0  0  4-2a 4a+b-5  4-2a

由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:

     1  0  2 -4   2

®   0  1 -1  5  -3  .

     0  0  0  0   0

得同解方程组

     x₁=2-2x₃+4x₄，

     x₂=-3+x₃-5x₄，

求出一个特解(2,-3,0,0)^T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)^T,(4,-5,0,1) ^T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)^T+c₁(-2,1,1,0)^T+c₂(4,-5,0,1)^T, c₁,c₂任意.

(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量₁=(-1,2,-1)^T,₂=(0,-1,1)^T都是齐次线性方程组AX=0的解.

① 求A的特征值和特征向量.

② 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得 Q ^TAQ=L.

解:① 条件说明A(1,1,1)^T=(3,3,3)^T,即 ₀=(1,1,1)^T是A的特征向量,特征值为3.又₁,₂都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于₁,₂线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.

属于3的特征向量:c₀, c¹0.

属于0的特征向量:c₁₁+c₂₂, c₁,c₂不都为0.

② 将₀单位化,得₀=(,,)^T.

对₁,₂作施密特正交化,的₁=(0,-,)^T,₂=(-,,)^T.

作Q=(₀,₁,₂),则Q是正交矩阵,并且

               3  0  0

   Q ^TAQ=Q^-1AQ=  0  0  0  .

               0  0  0