2004考研数学一真题及答案

 

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)

(1)曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为.

分析】  本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.

详解】 由,得x=1, 可见切点为,于是所求的切线方程为

          , 即 .

评注】 本题也可先设切点为,曲线y=lnx过此切点的导数为,得,由此可知所求切线方程为, 即 .

本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到.

(2)已知,且f(1)=0, 则f(x)=  .

分析】 先求出的表达式,再积分即可.

详解】 令,则,于是有

         , 即   

 积分得  . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0,故所求函数为f(x)= .

评注】 本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分.

(3)为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为 .

分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分.

详解】  正向圆周在第一象限中的部分,可表示为

          

于是  

                   =

评注】  本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.

(4)欧拉方程的通解为 .

分析】 欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可.

详解】  令,则

          

代入原方程,整理得

解此方程,得通解为    

评注】 本题属基础题型,也可直接套用公式,令,则欧拉方程

          

可化为        

(5)设矩阵,矩阵B满足,其中为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则  .

分析】 可先用公式进行化简

详解】  已知等式两边同时右乘A,得

,  而,于是有

,  即   

再两边取行列式,有   

      而 ,故所求行列式为

评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵,一般均应先利用公式进行化简.

(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则=   .

分析】 已知连续型随机变量X的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可.

详解】  由题设,知,于是

      =

          =

评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A) .   (B)  .  (C) .   (D)  .           [  B  ]

分析】 先两两进行比较,再排出次序即可.

详解】  ,可排除(C),(D)选项,

又          

                  =,可见是比低阶的无穷小量,故应选(B).

评注】 本题是无穷小量的比较问题,也可先将分别与进行比较,再确定相互的高低次序.

(8)设函数f(x)连续,且则存在,使得

  (A)  f(x)在(0,内单调增加.       (B)f(x)在内单调减少.

(C)  对任意的有f(x)>f(0) .   (D) 对任意的有f(x)>f(0) .                 [  C  ]                                                      

分析】  函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A),(B)选项,再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.

详解】  由导数的定义,知

      

根据保号性,知存在,当时,有

             

即当时,f(x)<f(0); 而当时,有f(x)>f(0). 故应选(C).

评注】 题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论.

(9)为正项级数,下列结论中正确的是

 (A)  若=0,则级数收敛.

(B) 若存在非零常数,使得,则级数发散.

(C)  若级数收敛,则.   

  1. 若级数发散, 则存在非零常数,使得.         [  B  ]

分析】  对于敛散性的判定问题,若不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到正确选项.

详解】  取,则=0,但发散,排除(A),(D);

又取,则级数收敛,但,排除(C), 故应选(B).

评注】 本题也可用比较判别法的极限形式,

  ,而级数发散,因此级数也发散,故应选(B).

(10)设f(x)为连续函数,,则等于

 (A)  2f(2).     (B)  f(2).        (C)  –f(2).       (D)  0.           [  B  ]

分析】 先求导,再代入t=2求即可.关键是求导前应先交换积分次序,使得被积函数中不含有变量t.

详解】 交换积分次序,得

        =

于是,,从而有 ,故应选(B).

评注】 在应用变限的积分对变量x求导时,应注意被积函数中不能含有变量x:

 

否则,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上.

(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为

(A)  .   (B) .  (C)  .    (D)  .

                  [  D  ]

分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质,对A作两次初等列变换,相当于右乘两个相应的初等矩阵,而Q即为此两个初等矩阵的乘积.

详解】由题设,有

        

于是,     

可见,应选(D).

评注】 涉及到初等变换的问题,应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.

(12)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有

  1. A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.  
  2. A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.  
  3. A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

(D)  A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.                 [  A  ]

分析】A,B的行列向量组是否线性相关,可从A,B是否行(或列)满秩或Ax=0(Bx=0)是否有非零解进行分析讨论.

详解1】 设A为矩阵,B 为矩阵,则由AB=O知,

           .

又A,B为非零矩阵,必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关,故应选(A).

详解2】 由AB=O知,B的每一列均为Ax=0的解,而B为非零矩阵,即Ax=0存在非零解,可见A的列向量组线性相关.

同理,由AB=O知,,于是有的列向量组,从而B的行向量组线性相关,故应选(A).

评注】 AB=O是常考关系式,一般来说,与此相关的两个结论是应记住的:

  1. AB=O;
  2. AB=OB的每列均为Ax=0的解.

(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的,数满足,若,则等于

(A)  .    (B) .     (C) .     (D)   .                 [  C  ]

分析】 此类问题的求解,可通过的定义进行分析,也可通过画出草图,直观地得到结论.

详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知,,于是

即有  ,可见根据定义有,故应选(C).

评注】 本题相当于分位数,直观地有

 

 

                                                    

         o                                          

(14)设随机变量独立同分布,且其方差为,则

(A)  Cov(           (B)  .  

(C)  .      (D)  .           [  A  ]

分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可,注意利用独立性有:

详解】 Cov(

                   =

评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到:如

          =

         =

(15)(本题满分12分)

, 证明.

分析】 根据要证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.

证法1】  对函数在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,得

     

,则

当t>e时, 所以单调减少,从而,即

        

.

证法2】  设,则

     

     ,

所以当x>e时,单调减少,从而当时,

         

即当时,单调增加.

因此当时,

即     

故    .

评注】 本题也可设辅助函数为

,再用单调性进行证明即可.

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h. 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

kg表示千克,km/h表示千米/小时.

分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用,列出关系式后再解微分方程即可.

详解1】  由题设,飞机的质量m=9000kg,着陆时的水平速度. 从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t).

根据牛顿第二定律,得

        .

又   

由以上两式得

          

积分得  由于,故得,从而

        

时,

所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.

详解2】  根据牛顿第二定律,得 ,

所以    

两端积分得通解,代入初始条件解得

故   

飞机滑行的最长距离为

     

或由,知,故最长距离为当时,

详解3】  根据牛顿第二定律,得 ,

   

其特征方程为 ,解之得

故   

   由

得    于是

    当时,

所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.

评注】 本题求飞机滑行的最长距离,可理解为的极限值,这种条件应引起注意.

(17)(本题满分12分)

计算曲面积分

        

其中是曲面的上侧.

分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面,应用高斯公式求解,而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.

详解】 取为xoy平面上被圆所围部分的下侧,记为由围成的空间闭区域,则

 

由高斯公式知

   

        =

       =

而   

故  

评注】 本题选择时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧),再就是在上直接投影积分时,应注意符号(取下侧,与z轴正向相反,所以取负号).

(18)(本题满分11分)

设有方程,其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.

分析】 利用介值定理证明存在性,利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.

】  记 ,及连续函数的介值定理知,方程存在正实数根

当x>0时,,可见上单调增加, 故方程存在惟一正实数根

   ,故当时,.

而正项级数收敛,所以当时,级数收敛.

     评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性,题型设计比较新颖,但难度并不大,只要基本概念清楚,应该可以轻松求证.

(19)(本题满分12分)

设z=z(x,y)是由确定的函数,求的极值点和极值.

分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值.

详解】  因为 ,所以

    

    .

令         得

故  

将上式代入,可得

      或     

由于  

      

      

所以  

,又,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点,极小值为z(9,3)=3.

类似地,由

 

可知,又,从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点,极大值为

z(-9, -3)= -3.

评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题,关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程.

(20)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组

试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组,可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形,再讨论其秩是否小于n,进而判断是否有非零解;或直接计算系数矩阵的行列式,根据题设行列式的值必为零,由此对参数a的可能取值进行讨论即可.

详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有

        

 当a=0时, r(A)=1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为

         

由此得基础解系为

 

于是方程组的通解为

 其中为任意常数.

时,对矩阵B作初等行变换,有

    

可知时,,故方程组也有非零解,其同解方程组为

        

由此得基础解系为

        

于是方程组的通解为

       ,其中k为任意常数.

详解2】 方程组的系数行列式为

   .

,即a=0或时,方程组有非零解.

当a=0时,对系数矩阵A作初等行变换,有

   

故方程组的同解方程组为

         

由此得基础解系为

 

于是方程组的通解为

 其中为任意常数.

时,对系数矩阵A作初等行变换,有

   

     

故方程组的同解方程组为

        

由此得基础解系为

        

于是方程组的通解为

       ,其中k为任意常数.

评注】 矩阵A的行列式也可这样计算:

=+,矩阵的特征值为,从而A的特征值为a,a,, 故行列式

(21)(本题满分9分)

 设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.

分析】  先求出A的特征值,再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量,确定A是否可相似对角化即可.

详解】  A的特征多项式为

    

            =

是特征方程的二重根,则有 解得a= -2.

当a= -2时,A的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=的秩为1,故对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可相似对角化.

不是特征方程的二重根,则为完全平方,从而18+3a=16,解得

时,A的特征值为2,4,4,矩阵4E-A=秩为2,故对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化.

评注】 n阶矩阵A可对角化的充要条件是:对于A的任意重特征根,恒有 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.

(22)(本题满分9分)

设A,B为随机事件,且,令

         

求:(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布;

   (II)X和Y的相关系数

分析】 先确定(X,Y)的可能取值,再求在每一个可能取值点上的概率,而这可利用随机事件的运算性质得到,即得二维随机变量(X,Y)的概率分布;利用联合概率分布可求出边缘概率分布,进而可计算出相关系数.

详解】 (I) 由于

               

所以,  

        

        

        

=

(或),

故(X,Y)的概率分布为

            Y

          X           0            1

           0                     

           1                     

(II)   X, Y的概率分布分别为

     X      0      1                Y     0     1

     P                          P         

,DY=, E(XY)=,

,从而

        

评注】 本题尽管难度不大,但考察的知识点很多,综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件,可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来,这种命题方式值得注意.

(23)(本题满分9分)

设总体X的分布函数为

         

其中未知参数为来自总体X的简单随机样本,求:

(I) 的矩估计量;

(II) 的最大似然估计量.

分析】 先由分布函数求出概率密度,再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.

详解】 X的概率密度为

         

(I) 由于

      

,解得 ,所以参数的矩估计量为

        

(II)似然函数为

    

时,,取对数得

两边对求导,得

,可得  

的最大似然估计量为

     

【评注】 本题是基础题型,难度不大,但计算量比较大,实际做题时应特别注意计算的准确性.