2002考研数学一真题及答案

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)= .

(2)已知函数由方程确定,则= .

(3)微分方程满足初始条件的特解是 .

(4)已知实二次型

经正交变换可化成标准型,则= .

(5)设随机变量服从正态分布,且二次方程无实根的概率为,则＝ .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)考虑二元函数的下面4条性质:

①在点处连续; ②在点处的两个偏导数连续;

③在点处可微; ④在点处的两个偏导数存在．

若用“”表示可由性质推出性质,则有

(A) ②③①. (B) ③②①.

(C) ③④①. (D) ③①④.

(2)设,且,则级数

(A) 发散. (B) 绝对收敛.

(C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定.

(3)设函数在内有界且可导,则

(A) 当时,必有.

(B) 当存在时,必有.

(C) 当时,必有.

(D) 当存在时,必有.

(4)设有三张不同平面的方程,,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为

(5)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,则

(A) ＋必为某一随机变量的概率密度.

(B) 必为某一随机变量的概率密度.

(C) ＋必为某一随机变量的分布函数.

(D) 必为某一随机变量的分布函数.

三、(本题满分6分)

设函数在的某邻域内具有一阶连续导数,且,若在时是比高阶的无穷小,试确定的值.

四、(本题满分7分)

已知两曲线与在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限.

五、(本题满分7分)

计算二重积分,其中.

六、(本题满分8分)

设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面(＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(),终点为().记

(1)证明曲线积分与路径无关;

(2)当时,求的值.

七、(本题满分7分)

(1)验证函数满足微分方程;

(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的区域为

,小山的高度函数为.

(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?

若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式.

(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

九、(本题满分6分)

已知四阶方阵,均为维列向量,其中线性无关,,如果,求线性方程组的通解.

十、(本题满分8分)

设为同阶方阵,

(1)若相似,证明的特征多项式相等.

(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.

(3)当均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

十一、(本题满分7分)

设维随机变量的概率密度为

对独立地重复观察４次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.

十二、(本题满分7分)

设总体的概率分布为

其中是未知参数,利用总体的如下样本值

求的矩估计值和最大似然估计值.

参考答案

一、填空题

(1)【分析】 原式

(2)【分析】 方程两边对两次求导得

①

②

以代入原方程得,以代入①得,再以代入②得

(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.

令(以为自变量),则

代入方程得 ,即(或,但其不满足初始条件).

分离变量得

积分得 即(对应);

由时得于是

积分得.

又由得所求特解为

(4)【分析】 因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所以是的特征值.

又因,故

(5)【分析】 设事件表示“二次方程无实根”,则

依题意,有

而

即

二、选择题

(1)【分析】 这是讨论函数的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,若可微则必连续,故选(A).

(2)【分析】 由充分大时即时,且不妨认为因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性.

按定义考察部分和

原级数收敛.

再考察取绝对值后的级数.注意

发散发散.因此选(C).

(3)【分析】 证明(B)对:反证法.假设,则由拉格朗日中值定理,

(当时,,因为);但这与矛盾

(4)【分析】 因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B).

(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是

(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故和

,且中任两个平行向量都线性无关.

类似地,(D)中有两个平面平行,故,,且中有两个平行向量共线.

(5)【分析】 首先可以否定选项(A)与(C),因

对于选项(B),若则对任何

,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).

进一步分析可知,若令,而则的分布函数恰是

三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知

由于,故必有

又由洛必达法则

及,则有.

综上,得

四、【解】 由已知条件得

故所求切线方程为.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得

五、【分析与求解】 是正方形区域如图.因在上被积函数分块表示

(关于对称)

(选择积分顺序)

六、【分析与求解】 (1)易知原函数,

在上原函数,即.

积分在与路径无关.

(2)因找到了原函数,立即可得

七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数

的收敛域是,因而可在上逐项求导数,得

,

,

所以 .

(2)与相应的齐次微分方程为,

其特征方程为,特征根为.

因此齐次微分方程的通解为.

设非齐次微分方程的特解为,将代入方程可得

,即有.

于是,方程通解为.

当时,有

于是幂级数的和函数为

八、【分析与求解】 (1)由梯度向量的重要性质:函数在点处沿该点的梯度方向

方向导数取最大值即的模,

(2)按题意,即求求在条件下的最大值点

在条件下的最大值点.

这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数

则有

解此方程组:将①式与②式相加得或

若,则由③式得即若由①或②均得,代入③式得即于是得可能的条件极值点

现比较在这些点的函数值:

因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的边界上的最大值,即可作为攀登的起点.

九、【解】 由线性无关及知,向量组的秩,即矩阵的秩为因此的基础解系中只包含一个向量.那么由

知,的基础解系是

再由知,是的一个特解.故的通解是其中为任意常数.

十、【解】 (1)若相似,那么存在可逆矩阵,使故

(2)令那么

但不相似.否则,存在可逆矩阵,使.从而,矛盾,亦可从而知与不相似.

(3)由均为实对称矩阵知,均相似于对角阵,若的特征多项式相等,记特征多项式的根为则有

相似于也相似于

即存在可逆矩阵,使

于是由为可逆矩阵知,与相似.

十一、【解】 由于依题意,服从二项分布,则有

12. 【解】

的矩估计量为根据给定的样本观察值计算

因此的矩估计值

对于给定的样本值似然函数为

令,得方程,解得(不合题意).

于是的最大似然估计值为