2001考研数学一真题及答案

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)设(为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程の通解,则该方程为_____________.

(2)设,则div(gradr)=_____________.

(3)交换二次积分の积分次序:＝_____________.

(4)设矩阵满足,其中为单位矩阵,则=_____________.

(5)设随机变量の方差是,则根据切比雪夫不等式有估计

_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1)设函数在定义域内可导,の图形如右图所示,

则の图形为

(2)设在点附近有定义,且,则

(A) .

(B) 曲面在处の法向量为{3,1,1}.

(C) 曲线在处の切向量为{1,0,3}.

(D) 曲线在处の切向量为{3,0,1}.

(3)设,则在=0处可导の充要条件为

(A) 存在. (B) 存在.

(C) 存在. (D) 存在.

(4)设则与

(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.

(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.

(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上の次数, 则X和Yの相关系数等于

(A)-1. (B) 0. (C) . (D) 1.

三、(本题满分6分)

求.

四、(本题满分6分)

设函数在点处可微,且,,,

.求.

五、(本题满分8分)

设=将展开成の幂级数,并求级数の和.

六、(本题满分7分)

计算,其中是平面与柱面の交线,从轴正向看去,为逆时针方向.

七、(本题满分7分)

设在内具有二阶连续导数且,试证:

(1)对于内の任一,存在惟一の,使=+成立;

(2).

八、(本题满分8分)

设有一高度为(为时间)の雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少の速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)の雪堆全部融化需多少小时?

九、(本题满分6分)

设为线性方程组の一个基础解系,,,

,其中为实常数.试问满足什么条件时,也为の一个基础解系.

十、(本题满分8分)

已知3阶矩阵与三维向量,使得向量组线性无关,且满足.

(1)记=（）,求3阶矩阵,使;

(2)计算行列式.

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数服从参数为()の泊松分布,每位乘客在中途下车の概率为(),且中途下车与否相互独立.以表示在中途下车の人数,求:

(1)在发车时有个乘客の条件下,中途有人下车の概率;

(2)二维随机变量の概率分布.

十二、(本题满分7分)

设总体服从正态分布(),从该总体中抽取简单随机样本,,(),其样本均值为,求统计量の数学期望.

参考答案

一、填空题

(1)【分析】 由通解の形式可知特征方程の两个根是,从而得知特征方程为

.

由此,所求微分方程为.

(2)【分析】 先求gradr.

gradr=.

再求 divgradr=

=.

于是 divgradr|=.

(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分の累次积分,因为时

积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为

.

由累次积分の内外层积分限可确定积分区域:

.

见图.现可交换积分次序

原式=.

(4)【分析】 矩阵の元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆の路均堵塞.应当考虑用定义法.

因为 ,

故 ,即 .

按定义知 .

(5)【分析】 根据切比雪夫不等式

,

于是 .

二、选择题

(1)【分析】 当时,单调增,(A),(C)不对;

当时,:增——减——增:正——负——正,(B)不对,(D)对.

应选(D).

(2)【分析】 我们逐一分析.

关于(A),涉及可微与可偏导の关系.由在(0,0)存在两个偏导数在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.

关于(B)只能假设在(0,0)存在偏导数,不保证曲面在

存在切平面.若存在时,法向量n={3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不成立.

关于(C),该曲线の参数方程为 它在点处の切向量为

.

因此,(C)成立.

(3)【分析】 当时,.

关于(A):,

由此可知 .

若在可导(A)成立,反之若(A)成立 .如满足(A),但不.

关于(D):若在可导,

.

(D)成立.反之(D)成立在连续,在可导.如 满足(D),但在处不连续,因而也不.

再看(C):

(当它们都时).

注意,易求得.因而,若(C)成立.反之若(C)成立(即

).因为只要有界,任有(C)成立,如满足(C),但不.

因此,只能选(B).

(4)【分析】 由 ,知矩阵の特征值是4,0,0,0.又因是实对称矩阵,必能相似对角化,所以与对角矩阵相似.

作为实对称矩阵,当时,知与有相同の特征值,从而二次型与有相同の正负惯性指数,因此与合同.

所以本题应当选(A).

注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如

与,

它们の特征值不同,故与不相似,但它们の正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以与合同.

(5)【分析】 解本题の关键是明确和の关系:,即,在此基础上利用性质:相关系数の绝对值等于1の充要条件是随机变量与之间存在线性关系,即(其中是常数),且当时,;当时,,由此便知,应选(A).

事实上,,,由此由相关系数の定义式有 .

三、【解】 原式=

=

=.

四、【解】 先求.

求 ,归结为求.由复合函数求导法

,

.

注意 ,.

因此 ,.

五、【分析与求解】 关键是将展成幂级数,然后约去因子,再乘上并化简即可.

直接将展开办不到,但易展开,即

, ①

积分得 ,. ②

因为右端积分在时均收敛,又在连续,所以展开式在收敛区间端点成立.

现将②式两边同乘以得

=

=

, ,

上式右端当时取值为1,于是

.

上式中令.

六、【解】 用斯托克斯公式来计算.记为平面上所

.

于是由斯托克斯公式得

 =

 =.

于是 .

按第一类曲面积分化为二重积分得

,

其中围在平面上の投影区域(图）.由关于轴の对称性及被积函数の奇偶性得

.

七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,,,使

(与有关);又由连续而,在不变号,在严格单调,唯一.

(2)对使用の定义.由题(1)中の式子先解出,则有

.

再改写成 .

,

解出,令取极限得

.

八、【解】 (1)设时刻雪堆の体积为,侧面积为.时刻雪堆形状如图所示

先求与.

侧面方程是.

.

.

作极坐标变换:,则

.

用先二后一の积分顺序求三重积分 ,

其中,即.

.

(2)按题意列出微分方程与初始条件.

体积减少の速度是,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即

将与の表达式代入得 ,即

. ①

. ②

(3)解①得. 由②得,即.

令,得.因此,高度为130厘米の雪堆全部融化所需时间为100小时.

九、【解】 由于是线性组合,又是の解,所以根据齐次线性方程组解の性质知均为の解.

从是の基础解系,知.

下面来分析线性无关の条件.设,即

.

由于 线性无关,因此有

(*)

因为系数行列式

,

所以当时,方程组(*)只有零解.

从而线性无关.

十、【解】 (1)由于 ,即

,

所以.

(2)由(1)知,那么,从而

.

十一、【解】 (1).

(2)=

 =

十二、【解】 易见随机变量,,相互独立都服从正态分布.因此可以将它们看作是取自总体の一个容量为の简单随机样本.其样本均值为 ,

样本方差为 .

因样本方差是总体方差の无偏估计,故,即.