2000考研数学二真题及答案

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)

(1)

(2) 设函数由方程所确定，则

(3)

(4) 曲线的斜渐近线方程为

(5) 设，为4阶单位矩阵，且则

.

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设函数在内连续，且则常数满足 (    )

(A)                    (B)

(C)                    (D)

(2) 设函数满足关系式，且，则 (    )

(A)是的极大值.

(B)是的极小值.

(C)点是曲线的拐点.

(D)不是的极值，点也不是曲线的拐点.

(3 ) 设是大于零的可导函数，且则当 时，有 (   )

(A)             (B)

(C)         (D)

(4) 若，则为   (   )

(A)0.         (B)6.         (C)36.           (D).

(5) 具有特解的3阶常系数齐次线性微分方程是 (   )

(A)                (B)

(C)            (D)

三、(本题满分5分)

设，计算.

四、(本题满分5分)

设平面上有正方形及直线.若表示正方形位于直线左下方部分的面积，试求.

五、(本题满分5分)

求函数在处的阶导数.

六、(本题满分6分)

设函数，

(1)当为正整数，且时，证明；

(2)求.

七、(本题满分7分)

某湖泊的水量为，每年排入湖泊内含污染物的污水量为，流入湖泊内不含的水量为，流出湖泊的水量为，已知1999年底湖中的含量为，超过国家规定指标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含污水的浓度不超过.问至多需要经过多少年，湖泊中污染物的含量降至以内(注：设湖水中的浓度是均匀的)

八、(本题满分6分)

设函数在上连续，且，试证明：在 内至少存在两个不同的点，使

九、(本题满分7分)

已知是周期为5的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式

其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程.

十、(本题满分8分)

设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形.问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？

十一、(本题满分8分)

函数在上可导，且满足等式

(1)求导数；

(2)证明：当时，成立不等式成立

十二、(本题满分6分)

设.其中是的转置，

求解方程

十三、(本题满7分)

已知向量组与向量组 具有相同的秩，且可由线性表出，求的值.

参考答案

一、填空题

(1)【答案】

【详解】

(2)设函数由方程所确定，则

【答案】

【详解】

方法1：对方程两边求微分，有    

由所给方程知，当时. 将，代入上式，有.

所以，.

方法2：两边对求导数，视为该方程确定的函数，有    

当时，以此代入，得，所以.

(3)【答案】

【详解】由于被积函数在处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.

作积分变量替换，令

(4)【答案】

【公式】为的斜渐近线的计算公式：

【详解】

所以，方向有斜渐近线. 当时，类似地有斜渐近线.

总之，曲线的斜渐近线方程为.

(5)【答案】

【详解】先求出然后带入数值，由于，所以

二、选择题

(1)【答案】D

【详解】排除法：

如果，则在内的分母必有零点，从而在处不连续，与题设不符.不选，若，则无论还是均有与题设矛盾，不选和.故选.

(2)【答案】C

【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数在出具有二阶导数且，，那么：(1) 当时，函数在处取得极大值；

(2)当时，函数在处取得极小值；

【详解】令等式中，得，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.

再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：

以代入，有，所以

.

从而知，存在去心邻域，在此去心邻域内，与同号，于是推知在此去心邻域内当时曲线是凸的，在此去心临域内时曲线是凹的， 点是曲线的拐点，选(C).

(3)【答案】A

【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知 想到设函数为相除的形式.

【详解】

设，则

则在时单调递减，所以对，，即

得 ，为正确选项.

(4)【答案】

【分析】本题有多种解法：(1)将含有的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或反之；(2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限.

【详解】

方法1： 凑成已知极限

而      

(由于)

所以    

方法2：由极限与无穷小关系，由已知极限式解出

，

从而    

所以    

方法3： 将在处按佩亚诺余项泰勒公式展开至项：

于是    

从而    

(5)【答案】B

【详解】由特解，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道，为特征方程的二重根；由可知为特征方程的单根，因此特征方程为

由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为

三【详解】

方法1：为了求不定积分，首先需要写出的表达式.为此，令，有

          分部积分

         拆项

方法2：作积分变量替换，命，

         分部积分

         部分分式求和

四【详解】先写出面积的(分段)表达式，

当时，图形为三角形，利用三角形的面积公式：

；

当时，图形面积可由正方形面积减去小三角形面

积，其中由于与交点的纵坐标为，于是，

小三角形的边长为：，所以

；

当时，图形面积就是正方形的面积：，

则

当时，

当时，

当时，

因此    

五【详解】

方法1：按莱布尼茨高阶导数公式：

为了求的阶导数，设，

；

；

；

一般地，可得

即      

设，，利用上述公式对函数展开，由于对求导，从三阶导数开始就为零，故展开式中只含有前三项.

代入，得：

方法2：带佩亚诺余项的麦克劳林公式：

求可以通过先求的的麦克劳林展开式，则展开式中项的系数与的乘积就是在点处的阶导数值.

由麦克劳林公式，

所以    

对照麦克劳林公式

从而推知

得      

六【详解】因为，且，

所以         定积分的性质

又因为具有周期，所以在长度为的积分区间上的积分值均相等：

，

从而

所以    

所以     即    

(2) 由(1)有，当时，

命取极限，

，

由夹逼定理，得

.

七【详解】设从2000年初(相应)开始，第年湖泊中污染物的总量为，浓度为，则在时间间隔内，排入湖泊中的量为：，流出湖泊的水中的量为.

因而时间从到相应地湖泊中污染物的改变量为：.

由分离变量法求解：

两边求积分：

初始条件为，代入初始条件得. 于是，要满足污染物的含量可降至内，命，得. 即至多需经过年，湖泊中A的含量降至以内.

八【证明】

方法1：令，有由题设有.

又由题设，用分部积分，有

由积分中值定理知，存在使

因为，，所以推知存在使得. 再在区间与上对用罗尔定理，推知存在，使，即    

方法2：由及积分中值定理知，存在，使. 若在区间内仅有一个零点，则在区间与内异号. 不妨设在内，在内. 于是由，有

当时，，；当时，，仍有，得到：. 矛盾，此矛盾证明了在仅有1个零点的假设不正确，故在内至少有2个不同的零点.

九【详解】为了求曲线在点处的切线方程，首先需要求出在处的导数，即切线斜率. 而函数又是以周期为5的函数，且在处可导，则在处可导，且其导数值等于函数在处的导数值.

将两边令取极限，由的连续性得

故，又由原设在处可导，两边同除，

根据导数的定义，得

所以，又因，所以，由点斜式，切线方程为

以代入得 即    

十【详解】首先联立两式，求直线与曲线的交点：，得：，而，则交点坐标为：. 由点斜式，故直线OA的方程为.

由旋转体体积公式，要求的体积就是用大体积减去小体积：

为了求的最大值，对函数关于求导，

命得唯一驻点，所以也是V的最大值点，最大体积为.

十一【详解】(1) 为了求，将两边同乘，得

两边对求导，得

即      .

上述方程为二阶可降阶微分方程，令，化为，即

两边求积分：

即      

所以    

令，则，于是.

再以代入原方程，由，有，于是.

(2)方法1：用积分证.

而      

两边同乘以，得：

，

即      

方法2 ：用微分学方法证.

因，即单调递减，所以当时.

要证，可转化为证明，令，则，且      ()

所以，当时，即.

结合两个不等式，推知当时，. 证毕.

十二【详解】由题设得

，.

所以    ，；，

代入原方程中，得

，即

其中是三阶单位矩阵，令，代入上式，得线性非齐次方程组

                           (1)

显然方程组得同解方程为

                           (2)

令自由未知量 解得

故方程组通解为

，(为任意常数)

十三【详解】

方法1：先求将矩阵作初等行变换，得

知 故，作初等行变换

因为，所以

又可由线性表出，故

将作初等行变换

由，得，解得，及

方法2：由方法1中的初等变换结果可以看出线性无关，且，故，是的极大线性无关组. 又，线性相关. 从而得

计算三阶行列式得，得

又可由线性表出 ，即可由线性表出，线性相关，有

行列式展开得，

所以，得及

方法3：先利用可由线性表出，故方程组有解，即

有解. 对其增广矩阵施行初等行变化

由其次线性方程组有解的条件(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩)，知

解得

又因为和线性无关，且，所以向量组的秩为2 ，由题设条件知，从而

解得